KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat dan rahmatNya sehingga saya bisa menyelesaikan makalah yang berjudul “Rangkuman Matriks & Transformasi Linear Dari Kelompok 1 Sampai Kelompok 3” tepat pada waktunya. Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas MID.
Dalam penyusunan makalah ini, saya banyak mengalami kesulitan, terutama disebabkan oleh kurangnya ilmu pengetahuan yang menunjang. Saya telah berusaha semaksimal mungkin sesuai dengan kemampuan saya. Namun sebagai manusia biasa, saya tidak luput dari kesalahan dan kekhilafan baik dari segi teknik penulisan maupun tata bahasa. Tetapi walaupun demikian saya berusaha sebisa mungkin menyelesaikan makalah ini meskipun tersusun sangat sederhana.
Demikian semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi saya dan para pembaca pada umumnya. Sebagai seorang mahasiswa yang masih dalam proses pembelajaran, penulisan makalah ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, saya sangat mengharapkan adanya kritik dan saran yang bersifat positif dan membangun, guna penulisan makalah yang lebih baik lagi di masa yang akan datang.
Medan, 22 April 2016
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. i
DAFTAR ISI ............................................................................................................ ii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 2
C. Tujuan Penulisan................................................................................................... 3
D. Manfaat Penulisan................................................................................................. 3
BAB II LANDASAN TEORI
A. Matriks.................................................................................................................. 4
1.1. Operasi Pada Matriks.......................................................................................... 5
1.2. Jenis Jenis Pada Matriks...................................................................................... 7
1.3. Matriks Minor..................................................................................................... 11
1.4. Matriks Kofaktor................................................................................................ 12
1.3. Matriks Singular Dan Non Singular.................................................................... 13
1.4. Rank Matriks....................................................................................................... 14
B. Determinan............................................................................................................ 14
2.1. Teorema 1............................................................................................................ 14
2.2. Teorema 2............................................................................................................ 15
2.3. Teorema 3............................................................................................................ 15
2.4. Teorema 4............................................................................................................ 16
C. Operasi Baris Elementer................................................................................... 17
BAB IIIPENUTUP
A. Kesimpulan .......................................................................................................... 22
B. Saran ..................................................................................................................... 26
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................... 27
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.
Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.
Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung biasa ( ). Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordo merupakan karakteristik suatu matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks. Memahami ordo matriks merupakan hal yang penting karena cukup banyak terjadi kesalahan dalam mengerjakan soal-soal matriks yang disebabkan oleh kekeliruan dalam memahami ordo matriks. Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
B Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka permasalahan dalam tulisan ini
adalah :
1. Jelaskan pengertian maktriks serta operasi pada matriks ?
2. Sebutkan dan jelaskan jenis – jenis matriks ?
3. Apa yang dimaksud dengan matriks elementer?
4. Apa yang dimaksud dengan ruang baris dan ruang kolom dari matriks ?
5. Jelaskan pengertian rank matriks ?
6. Jelaskan pengertian determinan ?
7. Sebutkan sifat – sifat determinan ?
8. Jelaskan pengertian minor dan kofaktor dari matriks ?
9. Jelaskan matriks singular dan non singular ?
10. Jelaskan teorema Laplace ?
11. Jelaskan operasi baris elementer ?
C Tujuan Penulisan
Tulisan ini bertujuan untuk :
1. Untuk memahami matriks, operasi matriks, dan jenis jenis matriks
2. Untuk mengetahui rank matriks, matriks singular dan non singular
3. Untuk memahami determinan dan sifat sifat determinan
4. Untuk mengetahui Operasi Baris Elementer
D Manfaat Penulisan
Adapun manfaat tulisan ini antara lain :
1. Dapat menambah wawasan penulis dan pembaca tentang hal-hal yang
berhubungan dengan matriks dan determinan.
2. Sebagai bahan referensi untuk pembaca.
3. Dapat melatih mahasiswa pada umumnya dan penulis khususnya dalam
mengembangkan wawasan diri untuk menyusun sebuah karya tulis secara
sistematis dalam bentuk makalah.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Oprasi Matriks
1. Matriks
Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung biasa ( ). Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordo merupakan karakteristik suatu matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu
Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
1.1. Operasi Pada Matriks
Penjumlahan Matriks
Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan B dinotasikan dengan A + B.Contoh:
Pengurangan Matriks
Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan real, maka berlaku :
dengan adalah lawan dari b. karena setiap matriks mempunyai matriks lawan, maka sama seperti pada bilangan real, pada matriks pun berlaku:
Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan
cara menjumlahkan amtriks A dengan lawan dari matriks B. Contoh
Perkalian Matriks
Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, artinya matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak kolom matriks B. Sementara hasil perkalian matriks A dengan matriks B ditentukan dengan cara mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B kemudian menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut. Beberapa hal yang perlu diperhatikan:
1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana
Contoh
Beberapa Hukum Perkalian Matriks:
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
A = 0 dan B = 0
A = 0 atau B = 0
A ¹ 0 dan B ¹ 0
Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
Perkalian Matriks Dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A] k dan(cij) = (kaij )Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB Contoh:[1]
1.2. Jenis Jenis Pada Matriks
1. Matriks Baris
Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo 1 x n dengan n > 1. Matriks A, memiliki 1 baris dan 4 kolom sehingga ordo matriks A adalah 1 x 4. Contoh
2. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo n x 1 dengan n > 1. Matriks B, memiliki 3 baris dan 1 kolom sehingga ordo matriks B aalah 3 x 1. Contoh :
3. Matriks Persegi
Matriks persegi yaitu matriks yang mempunyai banyak baris sama dengan banyak kolom atau matriks n x n (sering disebut berordo n), contoh:
Pada matriks C, terlihat bahwa banyak baris matriks C sama dengan banyak kolomnya. Dalam hal ini, matriks C memiliki banyak baris 3 dan banyak kolom 3. Sehingga, ordo matriks C adalah 3 x 3. Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen a11 dengan an disebut diagonal utama, sedangkan elemen-elemen yang terletak pada garis hubung an1 dengan elemen a1n disebut diagonal samping. Pada matriks persegi C di atas yang elemen-elemen yang termasuk diagonal utama adalah 6, 8, dan 4. Sedangkan, elemen-elemen yang termasuk diagonal samping adalah 3, 8, dan -1.
4. Matriks Segitiga
Matriks segitiga dibedakan menjadi dua jenis yaitu Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.Matriks segitiga bawah merupakan matriks persegi yang setiap elemen di atas diagonal utama semuanya bernilai nol, contoh:
Matriks L memiliki diagonal utama yang elemennya 2, -4, dan 1. Elemen-elemen di atas diagonal utama matriks L bernilai nol (0).
Matriks Segitiga Atas merupakan matriks persegi yang setiap elemen di bawah diagonal utama semuanya bernilai nol, contoh:
Matriks U memiliki diagonal utama yang elemennya 3, 6, dan -1. Elemen-elemen di bawah diagonal utama matriks U bernilai nol (0).
5. Matriks Diagonal
Matriks diagonal merupakan matriks persegi yang elemen-elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utama, contoh:
Perhatikan, pada matriks D elemen-elemen pada diagonal utamanya -3, 2,
dan 7.
6. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamannya bernilai satu, contoh:
Pada matriks I, elemen-elemen diagonal matriks I semuanya bernilai 1.
7. Matriks Tegak
Matriks tegak adalah matriks dengan banyak baris lebih banyak
dibandingkan dengan banyak kolom, contoh:
Matriks E, memiliki baris lebih banyak daripada banyak kolom. Dalam hal ini matriks E memiliki banyak baris 3 dan banyak kolom 2.
8. Matriks Datar
Matriks datar merupakan matriks dengan banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris, contoh:
Matriks F, memiliki banyak baris yang kurang dari banyak kolom. Dalam hal ini matriks F meiliki banyak bari 2 danya banyak kolom 3
9. Matriks Simetris
Matriks simetris merupakan matriks persegi dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i, contoh:
Matriks S dikatakan matriks simetris karena memiliki ordo 3 x 3 (matriks persegi) dan dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i. Hali ini ditunjukkan oleh elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2 sama dengan elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 yaitu 3, elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 sama dengan elemen pada baris ke-3 kolom ke-1 yaitu -1, dan elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 sama dengan elemen baris ke-3 kolom ke-2 yaitu -2.
10. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol, contoh:
Pada matriks O, semua elemennya bernilai nol (0).
1.3. Matriks Minor
Untuk mencari nilai kofaktor terlebih dahulu kita harus mencari nilai minor dari setiap elemen matrik. Untuk memudahkan, selanjutnya minor kita beri simbol dengan huruf M dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matriks.Contoh :
Diketahui matriks A yaitu :
Maka minor elemen 2 yang terletak pada baris ke-1 kolom ke-1 diberi simbol dengan M11. Untuk mencari harga minornya dapat kita lakukan dengan mencoret atau menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 sehingga didapatkan matriks baru seperti berikut :
Jadi minor elemen 2 (M11) adalah :
Serupa dengan cara di atas, minor elemen 3 (M12) adalah :
Untuk nilai M13, M21, M22, M23, M31, M32 dan M33 didapatkan dari hasil sebagai berikut :
1.4. Matriks Kofaktor
Setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai minor diatas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat pada gambar berikut :
Jadi berdasarkan tanda tempat diatas kita dapat mencari nilai kofaktor dari masing-masing elemen matriks. Untuk selanjutnya kita akan berikan simbol untuk nilai kofaktor masing-masing elemen dengan Cij, dimana i menandakan baris dan j menandakan kolom. jadi untuk setiap elemen di atas kita dapatkan harga kofaktornya sebagai berikut :
1.5. Matriks Singular Dan Matriks Non Singular
Suatu matriks bujur sangkar A disebut singular apabila det(A) = 0. Kalau det(A) ≠ 0 maka disebut matriks yang nonsingular. Matriks yang nonsingular mempunyai invers, sedangkan matriks singular tidak mempunyai invers.
Catatan :
Matriks bujur sangkar A berordo n adalah singular bial r(A) < n. Hal ini berhubungan dengan S4 dan akibat S3 dari determinan (dimana determinan yang mempunyai baris/kolom nol harga det = 0) Contoh :
Jadi r(A) = 2 < n, Juga det(A) = 0
Catatan :
Determinan dari matriks A dikalikan dengan determinan dari matriks B = determinan matriks AB, atau:
Catatan :
Kita dapat pula mencari rank suatu matriks dengan pertolongan determianan. Suatu matriks A ≠ 0 mempunyai rank = r jika paling sedikit satu minor berukuran (r x r) nya ≠ 0, sementara setiap minor berukuran
(r + 1) x
(r + 1) nya,jika ada berharga = 0
Contoh :
Sementara det(A) = 0
1.6. Rank Matriks
Rank Matriks terbagi menjadi rank baris dan rank kolom. Rank baris menyatakan jumlah maksimum kombinasi linear pada baris suatu matriks, demikian juga untuk rank kolom sehingga rank suatu matriks adalah minimum antara jumlah rank baris dan jumlah rank kolom.
Matriks tak nol A dikatakan mempunyai rank r jika paling sedikit satu dari minor bujur sangkar r x r tidak sama dengan nol sedangkan setiap minor bujur sangkar (r + 1) x (r + 1), jika ada adalah nol. Matriks nol disebut mempunyai rank nol.
Contoh : maka matriks A mempunyai rank r = 2
Karena nilai determinan dari sedangkan nilai determinan A = |A| = 0.
Maka bujur sangkar A(nxn) disebut tak-singular jika ranknya r= n, yaitu jika |A| 0. Jika tidak demikian, A disebut singular.
B. Determinan
Determinan adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). Berikut Sifat – sifat pada Determinan yaitu :
2.1 Teorema 1
“Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (A1)”
Pernyataan :
Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan “baris” dalam pernyatannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubtitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom kita hanya perlu mentranspos (memidahkan) matriks yang ditinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernytaan baris, dan kemudian merupakan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.
2.2 Teorema 2
“Misalkan A, A’, A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka
Det ( A” ) = det(A) + det ( A’ )
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom kolom itu”
Satu hubungan penting yang menyangkut jumlah determinan yang sering berguna. Untuk melukiskannya, tinjaulah dua matriks 2 x 2.
A = dan A’ = [2]
Yang hanya berbeda dalam baris kedua kita dapatkan
Det (a) + det (A’) = (a11 a22 – a12 a21) + (a11 a’22 –a12 a’22 )
= a11 (a22 + a’22) – a12 (a21 + a’21)
=det
Jadi
det = + det = det
2.3 Teorema 3
“Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama,maka
Det(AB) = det(A)det(B)”
Pernyataan
Dengan menghitung determinan berikut kita bisa memeriksa bahwa
Teorema 3 benar.
1 7 5 1 7 5 1 7 5
Det = 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3
1+0 4+1 7+(-1) 1 4 7 0 1 -1[3]
2.4 Teorema 4
“Sebuah matriks A kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) = 0 “
Pernyataan
Jika A dapat dibalik, maka I =AA-1 sehingga 1 = det(I) = det(A)det(A-1).
Jadi, det(A) ≠ 0. Sebaliknya,anggaplah bahwa det(A)≠ 0. Kita perlihatkan bahwa A ekivalen baris pada I, dan dengan demikian kita dapat menyimpulkan A dapat dibalik. Misalkan R adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A. Karena R dapat diperoleh dari A dengan menggunakan urutan berhingga dari operasi baris elementer, maka kita dapat mencari matriks – matriks elementer E1, E2, ....., Ek sehingga Ek...E2E1A = R atau
A = E1-1E2-1 ... Ek-1R. Jadi,
Det(A) = det(E1-1)det(E2-1)...det(Ek-1)det(R)
Akibat. Jika A dapat dibalik, maka
1
Det (A-1)=-------
det(A)
Bukti
Karena A-1A = I, maka det (A-1A) = det(I); yakni, det (A-1)det(A) = 1 .
Karena det(A) ≠ 0, bukti tersebut dapat dilengkapi dengan mebaginya dengan det(A).
Karena baris pertama dan baris ketiga dari
A =
Sebanding, maka det(A) = 0. Jadi tidak dapat dibalik[4]
C. Operasi Baris Elementer
Operasi Baris Elementer (OBE)merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). Untuk cara menentukan invers sobat bisa baca artikel "Determinan dan invers matriks", dan menyelesaikan SPL dengan konsep matriks sobat bisa membaca artikel "Penerapan matriks pada SPL". Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan". Materi OBE ini sebenarnya dipelajari pada tingkat perkuliahan, untuk tingkat SMA jarang yang membahasnya. Hal ini dikarenakan tingkatnya sudah lebih sulit dari materi matriks lain yang sudah dibahas.
Perhatikan matriks berordo m×n berikut :
A=[a11...a1n.........am1...amn]
Kita menyebut masing-masing (ai1...ain) sebagai baris-baris dari matriks A. Pada matriks A kita dapat melakukan operasi-operasi berikut :
1). mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol
2). menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain,
3). menukarkan sebarang dua buah baris,
Ketiga operasi di atas disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Ketiga operasi OBE bisa digunakan atau hanya menggunakan salah satunya saja. Suatu matriks A′ yang diperoleh dari proses sejumlah hingga OBE pada matriks A, dikatakan ekuivalen dengan matriks A, yang dapat dinotasikan dengan A∼A′ .
Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.
Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
Pertukarkan dua persamaan tersebut.
Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.
Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol.
Pertukarkanlah dua baris tersebut.
Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.
Sifat-sifat matriks yang berbentuk eselon baris (row-echelon form) dan eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) :
Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama).
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan berama-sama dibawah matriks.
Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.
Dikatakan matriks berada dalam bentuk eselon baris jika memiliki sifat 1, 2, dan 3. Prosedur untuk mereduksi menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi dan prosedurnya disebutEliminasi Gauss.
Contoh 1 :
Carilah solusi dari persamaan dibawah ini dengan menggunakan OBE.
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian :
Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar
kemudian gunakan OBE :
baris kedua : B2 + (-2)B1,baris ketiga : B3 + (-3)B1,
baris kedua : B2 x (1/2),
baris ketiga : B3 + (-3)B2,
baris ketiga : B3 x 2,
Pada matriks terakhir ini dinamakan matriks berada dalam bentuk eselon baris. Dari matriks eselon baris ini dapat ditulis kedalam bentuk persamaan yang bersesuaian dengan matriks tersebut.
x + y + 2z = 9
y – 7/2 z = -17/2
z = 3
Sehingga dengan mensubstitusikan z = 3 kedalam persamaan kedua, diperoleh y – 7/2(3) = -17/2 y = 2. Setelah itu substisikan z dan y kepersamaan pertama, diperoleh x + 2 + 2(3) = 9 x = 1.
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.
Kita juga bisa mencari solusi persamaan tersebut dengan cara mengubah matriks tersebut sampai dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi, hasil akhirnya akan sama. Misal matriks eselon baris tersebut kita ubah kedalam eselon baris tereduksi.
baris kedua : B2 + (-7/2)B3,baris pertama : B1 + (-2B3),
baris pertama : B1 – B2,
Dari matriks eselon baris tereduksi diatas diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3.
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana.
1. Suatu matriks dikatakan ekselon baris jika elemen bukan nol pertama dalam
setiap baris adalah 1 (satu)
2. Jika terdapat baris baris yang entrinya semuanya nol maka baris-baris yang
memiliki entri bukan nol
Untuk mengubah suatu sistem persamaan linear menjadi sistem yang matriks diperbesarnya dalam elselon garis disebut eliminasi gauss
Contoh :
X – 3/2y = 5/2 ..........(1)
½ y = -1/2 .................(2) subsitusikan!!!!!!
Maka hasilnya yaitu x= 1 dan y= -1
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung biasa ( ). Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordo merupakan karakteristik suatu matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu :
Operasi operasi yang terdapat pada matriks yaitu :
1. Penjumlahan Matriks
2. Pengurangan Matriks
3. Perkalian Matriks
4. Perkalian Matriks Dengan Skalar
Jenis Jenis Matriks antara lain :
1. Matriks Baris
2. Matriks Kolom
3. Matriks Persegi
4. Matriks Segitiga
5. Matriks Diagonal
6. Matriks Identitas
7. Matriks Tegak
8. Matriks Datar
9. Matriks Simetris
10. Matriks Nol
Matriks Minor yaitu untuk mencari nilai kofaktor terlebih dahulu kita harus mencari nilai minor dari setiap elemen matrik. Untuk memudahkan, selanjutnya minor kita beri simbol dengan huruf M dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matriks. Matriks Kofaktor setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai minor diatas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat pada gambar berikut :
Matriks Singular dan Non Singular Suatu matriks bujur sangkar A disebut singular apabila det(A) = 0. Kalau det(A) ≠ 0 maka disebut matriks yang nonsingular. Matriks yang nonsingular mempunyai invers, sedangkan matriks singular tidak mempunyai invers.
Catatan :
Matriks bujur sangkar A berordo n adalah singular bial r(A) < n. Hal ini berhubungan dengan S4 dan akibat S3 dari determinan (dimana determinan yang mempunyai baris/kolom nol harga det = 0)
Rank Matriks terbagi menjadi rank baris dan rank kolom. Rank baris menyatakan jumlah maksimum kombinasi linear pada baris suatu matriks, demikian juga untuk rank kolom sehingga rank suatu matriks adalah minimum antara jumlah rank baris dan jumlah rank kolom.
Matriks tak nol A dikatakan mempunyai rank r jika paling sedikit satu dari minor bujur sangkar r x r tidak sama dengan nol sedangkan setiap minor bujur sangkar (r + 1) x (r + 1), jika ada adalah nol. Matriks nol disebut mempunyai rank nol.
Determinan adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). Berikut Sifat – sifat pada Determinan yaitu :
Teorema 1
“Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (A1)”
Teorema 2
“Misalkan A, A’, A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka
Det ( A” ) = det(A) + det ( A’ )
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom kolom itu”
Teorema 3
“Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama,maka
Det(AB) = det(A)det(B)”
Teorema 4
“Sebuah matriks A kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) = 0 “
Operasi Baris Elementer (OBE)merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). Untuk cara menentukan invers sobat bisa baca artikel "Determinan dan invers matriks", dan menyelesaikan SPL dengan konsep matriks sobat bisa membaca artikel "Penerapan matriks pada SPL". Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan". Materi OBE ini sebenarnya dipelajari pada tingkat perkuliahan, untuk tingkat SMA jarang yang membahasnya. Hal ini dikarenakan tingkatnya sudah lebih sulit dari materi matriks lain yang sudah dibahas.
Perhatikan matriks berordo m×n berikut :
A=[a11...a1n.........am1...amn]
Kita menyebut masing-masing (ai1...ain) sebagai baris-baris dari matriks A. Pada matriks A kita dapat melakukan operasi-operasi berikut :
1). mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol
2). menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain,
3). menukarkan sebarang dua buah baris
B. Saran
1. Dengan penugasan membuat makalah seperti ini, maka akan membuka
cakrawala berfikir yang tentunya hal itu sangat berdampak positif bagi
perkembangan kreatifitas seseorang.
2. Kepada seluruh pembaca dapat memberikan kritikan yang bersifat
membangun sehingga apa yang diharapakan dari isi tulisan ini dapat
berguna bagi mahasiwa/i maupun dosen.
3. Hendaknya mahasiswa/i dapat memahami matriks lebih dalam lagiaa
sumber
https://saukity13.blogspot.com/2016/09/matriks-transformasi-linear.html