BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integralyang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajarifungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah 
. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
B. Rumusan Masalah
1. Luas Daerah Datar
2. Volume Benda Putar
3. Panjang Kurva
4. Luas Bidang Lengkung Putar
5. Pusat Massa
6. Sekelumit Kegunaan Kalkulus Dalam Ilmu Ekonomi
C. Tujuan
Untuk mempelajari beberapa dari kegunaan integral seperti Luas Daerah Datar, Volume Benda Putar, Panjang Krva, Luas Bidang Lengkung Putar, Pusat Massa dan Sekelumit Kegunaan Kalkulus dalan Ilmu ekonomi.
BAB II
PEMBAHASAN
BEBERAPA KEGUNAAN INTEGRAL
6.1 LUAS DAERAH DATAR
Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi olehgrafik fungsi y = f(x), garis x = a, garis x = b dansumbu X telah kita bahas dalam pembahasanintegral tentu.Namun untuk daerah yang lebih kompleks akankita bahas secara detil pada perhitungan luasdaerah dengan menggunakan integral tentu.Selain dari itu, integral tentu akan kita gunakanjuga untuk menghitung volume benda pejal yaitubenda yang dihasilkan bila suatu daerah diputardengan suatu sumbu putar. Panjang kurva akankita bahas pada bagian akhir dari bab ini.
Luas Daerah di Bidang
Diketahui daerah di bidang seperti pada gambar dibawah ini, bagaimana kita dapat menghitung luas daerah tersebut ?
 |
Pada prinsipnya kita dapat membagi daerah tersebut menjadi beberapa bagian, dimana tiap bagian merupakan daerah diantara dua kurva. Jadi peisnya adalah bagaimana menghitung luas daerah antara dua kurva, yang akan dibahas selanjutnya.
Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(x) ≥ 0, x = a , x = b dan sumbu X.Maka luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai berikut :
L = a∫b f (x) dx
Bila f(x) ≤ 0 maka integral dari f(x) pada selang [a,b ] akan bernilainegatif atau nol. Oleh karena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x)≤ 0, garis x = a, x = b dan sumbu X, dituliskan sebagai berikut :
L = -a∫b f (x) dx
Untuk daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang dinyatakan secaraeksplisit dalam peubah y, yakni x = v(y), garis y = c, y = d dan sumbuY, maka luas daerah :
L= c∫d v (y) dy
Contoh :
Tentukan Luas Daerah yang dibatasi kurva (f(x)) = x+3 dalam interval -2 ≤ x ≤ 3
a b
| ||||
 | ||||
L
fx
Penyelesaian :
L = a∫b f(x) dx
= -2∫3 (x+3) dx
= ½ x2 + 3x] 
= [ ½ (3)2 + 3(3)] – [ ½ (-2)2 +3(-2)]
= ( ½ (9) + 9 ) – ( ½ (4) -6)
= ( 9/2 + 9 ) + (2-6)
= 
+ 4
+ 4
= 
satuan luas
satuan luas
6.2 VOLUME BENDA PUTAR
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contohadalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luasalas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume daribenda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkaliantara luas alas dan tinggi. Bila luas alas kita nyatakandengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang[ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitungmenggunakan integral tentu sebagai berikut :
V = a∫b A(x) dx
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu,dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.
a) Metode Cakram :
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].
Misal pusat cakram 
dan jari-jari 
. Maka luas cakram dinyatakan :
dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan : 
Oleh karena itu, volume benda putar :
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
Bila daerah yang dibatasi oleh 
, 
untuk setiap 
, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :
, untuk setiap , x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :
Bila daerah yang dibatasi oleh 
untuk setiap 
, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
untuk setiap , y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = 2 – x2 , y = -x dan sumbu y, bila diputar mengelilingi garis y= -2
Penyelesaian:
Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 
.
.
Jarak kurva 
dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang
dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang
sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 - x ) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
b) Metode Kulit Tabung:
Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut 
dan 
, tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
dan , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , 
dan tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar :
dan tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar :
Misal daerah dibatasi oleh kurva
, x = a
, x = a
dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar :
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x=w(y) x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume :
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh 
, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar :
, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar :
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = 1 – x2 , sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Penyelesaian :
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, 
dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
6.3 PANJANG KURVA
Persamaan kurva seringkali dinyatakan dengan peubah x dan y. Namun adakalanya dinyatakan dengan parameter. Kita dapat mengambil contoh berikut. Persamaan Lingkaran : x2 + y2 = a2 dapat juga dituliskan dengan x =a cos t dan y = a sin t dengan 0≤ t ≤ 2π. t disebut parameter.
Dalam perhitungan kurva bidang yang dinyatakan dalam parameter, kita membatasi untuk kurva bidang yang smooth atau mulus. Untuk itu diberikan definisi berikut:
1) Definisi Kurva Mulus
Kurva yang ditentukan oleh pasangan persamaan parameter, x = f(t), y = g(t) , a ≤ t ≤ b dikatakan smooth (mulus) bila turunan pertama f ‘ dan g ‘ ada dan kontinu pada selang [a,b], f ‘ dan g ‘ tidak secara bersama-sama bernilai nol pada selang [a,b].
Misal f(x) kontinu pada [a,b]. Maka untuk menghitung panjang kurva f(x) sepanjang
selang [a,b] dilakukan sebagai berikut :
Bagi selang [a,b] menjadi n sub selang sama panjang dengan panjang sub selang 
x. Pada sub selang ke-k, [ Xk-1, Xk ] didapatkan nilai fungsi pada ujung sub selang yaitu f(Xk-1) dan f(Xk). Misal Lk merupakan panjang ruas garis dari titik (Xk-1, f (Xk -1))
x. Pada sub selang ke-k, [ Xk-1, Xk ] didapatkan nilai fungsi pada ujung sub selang yaitu f(Xk-1) dan f(Xk). Misal Lk merupakan panjang ruas garis dari titik (Xk-1, f (Xk -1))
ke(Xk , f (Xk )). Maka :
Jadi panjang kurva f(x) sepanjang selang [a,b] didekati oleh :
Contoh:
Hitung panjang kurva y = x 3/2 dari titik (1,1) sampai titik (4,8) ?
Penyelesaian :
6.4 LUAS BIDANG LENGKUNG PUTAR
Perhitungan-perhitungan pada kapal umunya didasarkan pada bidang-bidang lengkung yang dibatasi oleh :
a) Sebuah garis dasar sebagai absis
b) Dua buah ordinat yang ada kalanya berharga nol
c) Sebuah garis lengkung
Bidang-bidang lengkung seperti ini dapat dijumpai pada bentuk garis air, bentuk gading dan lain-lain. Garis lengkung yang membatasinya dilukis dengan menggunakan mal garis sesuai bentuk garis air yang kita rencanakan, sehingga tidak dapat digolongkan pada bentuk-bentuk garis dalam ilmu pasti. Karenanya untuk menghitung luas suatu bidang lengkung pada kapal tidak mungkin digunakan rumus-rumus ilmu pasti atau internal. Maka untuk menghitung luasnya dipakai jalan lain, yaitu menggunakan rumus-rumus pendekatan.
Cara yang paling praktis untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan alat-alat yang disebut ‘Planimater atau Integrator’. Untuk rumus-rumus pendekatan biasanya dipakai salah satunya adalah cara :
Ø Perhitungan cara Trapesium
Bidang lengkung ABC akan dicari luasnya. Bidang lengkung tersebut dibagi misalnya menjadi 4 bagian, dimana pembagian kearah memanjang adalah sepanjang h. dengan demikian kita bias mencari luas bidang I, II, III, dan IV sebagai berikut, dengan aturan Trapesium.
Luas I = ½ h (y0 + y1)
Luas II = ½ h ( y1 + y2)
Luas III = ½ h ( y2 + y3)
Luas IV = ½ h ( y3 + y4)
Luas ABC = ½ h (y0 +2y1+2y2+2y3+2y4)
Catatan :
h = jarak ordinat
y0, y1, y2, y3, dan y4 = panjang ordinat
angka ½ = factor pengali utuk trapezium
angka 1,2, 2,2, 2,2.,1 = factor luas
6.5 PUSAT MASSA
Misalkan kita mempunyai kawat yang kita letakkan pada garis bilangan real sehingga menutupi selang [a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebut di titik x adalah 
. Maka, massa potongan kawat yang lebarnya 
kurang lebih akan sama dengan 
.
. Maka, massa potongan kawat yang lebarnya kurang lebih akan sama dengan .
Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massa kawat tersebut :
m = a∫b
Kita juga dapat menghitung momennya terhadap titik 0. (Momen = jarak x massa) Pertama, momen tiap potongan kawat dengan lebar terhadap 0 adalah 
Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh momen kawat tersebut terhadap 0 :
terhadap 0 adalah Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh momen kawat tersebut terhadap 0 :
M = a∫b
Dengan mengetahui massa kawat dan momennya terhadap 0, kita dapat menentukan pusat massanya, yakni :
Contoh :
Diketahui keeping homogen dengan rapat massa 1 yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva 
2. Tentukan massa dan pusat massa keeping tersebut.
2. Tentukan massa dan pusat massa keeping tersebut.
Penyelesaian:
Massa keeping tersebut adalah : 
2) dx = 
2) dx =
Momennya terhadap kedua sumbu koordinat adalah :
My = 
(
2) dx = 
(2) dx =
Mx = 
4) dx =
4) dx =
Dengan demikian pusat massanya adalah (9/10, 9/10).
(Di sini pusat massanya terletak pada garis y=x, yang merupakan sumbu keeping tersebut)
6.5.1 Teori Pappus
Teorema Pappus, jika suatu daerah D pada bidang diputar mengelilingi suatu sumbu yang tidak memotong D, maka volume benda putar yang terbentuk sama dengan luas daerah D kali keliling lingkaran yang ditempuh oleh titik pusat massa D.
6.6 SEKELUMIT KEGUNAAN KALKULUS DALAM ILMU EKONOMI
Dalam kehidupan sehari-hari khususnya pada bidang ekonomi dan akuntansi ada banyak Hal yang menarik perhatian,ada banyak masalah ekonomi yang ternyata di dalam penyelesaiannya tersebut menggunakan cara-cara kalkulus peubah banyak. Tetapi dari pernyataan tersebut, masih ada suatu kejanggalan pada masyarakat, yang menjadi pertanyaan mereka adalah apakah benar bahwa kalkulus tersebut dapat diterapkan dalam bidang ekonomi?
Banyak diantara materi kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi, diantaranya fungsi transenden yang terdiri dari fungsi logaritma dan fungsi eksponen, limit, diferensial fungsi sederhana, diferensial fungsi majemuk, dan integral. kalkulus DIFERENSIAL yang pada intinya mengukur tingkat perubahan fungsi . Dalam ilmu Ekonomi seringkali perlu untuk membalik proses pendiferensialan dan mencari fungsi awal F(X) yang tingkat perubahannya (yaitu turunannya f’(X) telah diketahui. Ini disebut pengintegralan . Fungsi F(X) disebut INTEGRAL atau anti turunan (antiderivatif) fungsi f’(X). Namun, diantara banyaknya materi kalkulus yang dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi tersebut, yang akan dibahas di ambil mengenai integral, khususnya integral tak tentu.
6.6.1 Berkaitan dengan Derivatif
Dalam dunia keuangan (finance), derivatif adalah sebuah kontrak bilateral atau perjanjian penukaran pembayaran yang nilainya diturunkan atau berasal dari produk yang menjadi "acuan pokok" atau juga disebut " produk turunan" (underlying product); daripada memperdagangkan atau menukarkan secara fisik suatu aset, pelaku pasar membuat suatu perjanjian untuk saling mempertukarkan uang, aset atau suatu nilai disuatu masa yang akan datang dengan mengacu pada aset yang menjadi acuan pokok.
ELASTISITAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbaningan antara perubahan relative dari jumlah dengan perubahan relative dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam yang digunakan, yaitu:
· Elastisitas Titik (point elasticity)
· Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.
b. Elastisitas Permintaan
Adanya suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaanya
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah yang ditawarkan berkenan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x) , maka elastisitas produksinya :
BIAYA
· 
Biaya Total (TC) ada seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
Biaya Total (TC) ada seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
Q = Kuantitas
· 
Biaya Rata-rata (AC) adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.
Biaya Rata-rata (AC) adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.
· 
Biaya Marginal (MC) adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.
Biaya Marginal (MC) adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.
PENERIMAAN
· 
Penerimaan Total (TR) adalah total hasil penerimaan penjualan produk yang diproduksi
Penerimaan Total (TR) adalah total hasil penerimaan penjualan produk yang diproduksi
· 
Penerimaan rata-rata (AR) adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
Penerimaan rata-rata (AR) adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
· 
Penerimaan Marginal (MR) adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.
Penerimaan Marginal (MR) adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.
6.6.2 Berkaitan dengan Integral
Penerapan integral tak tentu yaitu mencari persamaan fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).
Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi:
a. Fungsi Biaya
Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
b. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
c. Fungsi Produksi
· Produk Total : P = f(Q) , dimana P = keluaran dan Q = masukan
· Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)
· 
Produk Total adalah integral dari produk marginal
Produk Total adalah integral dari produk marginal
d. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Materi Integral ini dibagi dalam beberapa bagian, sebagai berikut:
1. Pengertian Integral
Bagian ini membahas pengertian integral sebagai invers (kebalikan) dari turunan, baik turunan fungsi aljabar maupun turunan fungsi trigonometri.
2. Integral Tentu
Pada bagian ini membahas pengertian integral tentu yang diturunkan dari konsep luas daerah sebagai limit jumlah. Menghitung nilai integral tentu dengan menggunakan teorema dasar kalkulus.
3. Teknik Pengintegralan
Bagian ini membahas teknik-teknik pengintegralan ada 3 teknik yang digunakan :
ü Pengintegralan dengan substitusi
ü Pengintegralan dengan substitusi Trigonometri
ü Pengintegralan Parsial
4. Penerapan Integral
Bagian ini membahas tentang penerapan Integral dalam menentukan :
ü Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu-sumbu koordinat
ü Luas daerah antara 2 kurva
ü Volume benda putar mengelilingi sumbu X
ü Volume benda putar mengelilingi sumbu Y
sumber
http://intanhasyimkks2.blogspot.com/